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Una misura è il processo empirico attraverso il quale si assegna un valore numerico a una grandezza fisica, confrontandola direttamente o indirettamente con un'unità di misura campione omogenea e definita per convenzione.
Una misura diretta si ottiene mediante il confronto diretto tra la grandezza fisica da determinare e un'unità di misura campione (o una scala graduata), utilizzando uno strumento opportuno. È lo strumento che fornisce direttamente il valore della misura, senza necessità di ulteriori calcoli.
La misura della lunghezza di un tavolo è una misura diretta, poiché si usa un metro a nastro per comparare la lunghezza del tavolo con l'unità di misura campione.
Una misura indiretta viene invece ricavata applicando leggi matematiche a una o più grandezze già misurate in modo diretto.
Per misurare la superficie di un tavolo a forma rettangolare bisogna moltiplicare tra loro le misure dei due lati trasversali.
La sensibilità (spesso associata alla risoluzione) di uno strumento di misura è la più piccola variazione della grandezza fisica che l'apparato è in grado di rilevare. Negli strumenti analogici coincide con il valore corrispondente alla minima divisione della scala graduata (cioè la distanza tra due tacche adiacenti), mentre in quelli digitali corrisponde alla minima variazione mostrata sulla cifra meno significativa del display.
La portata (o fondo scala) è invece il valore massimo della grandezza fisica che lo strumento è in grado di misurare in modo affidabile, senza subire danni o generare errori fuori tolleranza. Insieme alla soglia minima di rilevamento, definisce il campo di misura (o range) entro cui l'operatività resta valida.
Portata e sensibilità sono inversamente proporzionali:
Una bilancia pesapersone avrà quindi una portata maggiore e una sensibilità inferiore rispetto a una bilancia da cucina, dato che le masse da misurare sono minori per i cibi rispetto alle persone.
Avere contemporaneamente alta portata e alta precisione richiede uno strumento complesso, capace di misurare grandi quantità con un elevato livello di precisione (alta sensibilità).
La misura di qualsiasi grandezza in Fisica è sempre affetta da errori. Questi errori possono essere:
Gli errori sistematici sono tipicamente dovuti a errori di taratura dello strumento di misura, che fornisce sempre una misura sbagliata della stessa quantità.
Una bilancia che aggiunge sempre 2 grammi alla misura di massa.
Oppure a fenomeni ambientali imprevisti ma di lunga durata.
Un righello metallico si espande a causa della dilatazione termica in seguito a un aumento di temperatura ambientale.
Gli errori accidentali variano invece in modo imprevedibile sia in modulo sia in segno attorno al valore reale. Possono essere dovuti a tecniche di misurazione scorrette.
Usando un cronometro manuale, il tempo di reazione di chi misura influisce sulla misura del tempo trascorso.
Ma possono essere dovuti anche a fattori ambientali imprevedibili e in rapida evoluzione.
Una corrente d'aria o una vibrazione possono introdurre un errore accidentale.
Ogni misura viene sempre espressa in Fisica usando un:
misura = valore attendibile $\pm$ incertezza (o errore assoluto)
$x = \textcolor{#1d4ed8}{\bar{x}} \pm \textcolor{#b91c1c}{\delta x}$
Nel caso di una misura singola il valore attendibile coincide con il valore letto sullo strumento di misura, mentre l'incertezza coincide con la sensibilità dello strumento di misura.
Nel caso di misure ripetute, il valore attendibile è la media aritmetica dei valori misurati e l'incertezza è:
Misurando una lunghezza otto volte si sono registrati questi valori:
| 16,4 cm | 16,3 cm | 16,9 cm | 16,3 cm | 16,5 cm | 16,7 cm | 16,6 cm | 16,3 cm |
Il valore attendibile risulta essere:
$\bar{x} = \dfrac{16{,}4 + 16{,}3 + 16{,}9 + 16{,}3 + 16{,}5 + 16{,}7 + 16{,}6 + 16{,}3}{8} = \dfrac{132}{8} = 16{,}5\,\text{cm}$
La semidispersione massima invece:
$\delta x = \dfrac{x_{\max} - x_{\min}}{2} = \dfrac{\textcolor{#15803d}{16{,}9\,\text{cm}} - \textcolor{#1d4ed8}{16{,}3\,\text{cm}}}{2} = \dfrac{0{,}6\,\text{cm}}{2} = 0{,}3\,\text{cm}$
La misura sarà quindi: $16{,}5\,\text{cm} \pm 0{,}3\,\text{cm}$.
L'errore relativo è definito invece come il rapporto adimensionale tra l'errore assoluto $\delta x$ e il valore attendibile $\bar{x}$:
$\delta x_r = \dfrac{\delta x}{\bar{x}}$
Moltiplicando l'errore relativo per 100 si ottiene l'errore percentuale $\delta x_{\%}$.
L'errore relativo è importante poiché esprime il peso proporzionale dell'incertezza indipendentemente dal valore attendibile.
Nell'esempio di prima:
$\delta x_r = \dfrac{\delta x}{\bar{x}} = \dfrac{0{,}3\,\text{cm}}{16{,}5\,\text{cm}} = 0{,}018$
$\delta x_{\%} = 1{,}8\%$
Con un valore attendibile differente, per esempio $1{,}65\,\text{m}$, lo stesso errore relativo risulterà in un errore assoluto di $3\,\text{cm}$.
L'errore relativo è il parametro che ci informa sulla qualità dello strumento di misura.
Eseguendo 10 pesature di due masse differenti con due bilance differenti:
| Prima bilancia | $m \pm \delta m = 203\,\text{g} \pm 3\,\text{g}$ | $\delta m_r = \dfrac{\delta m}{m} = 1{,}47\%$ |
| Seconda bilancia | $m \pm \delta m = 55{,}3\,\text{kg} \pm 0{,}2\,\text{kg}$ | $\delta m_r = \dfrac{\delta m}{m} = 0{,}36\%$ |
Sebbene la prima bilancia abbia un errore assoluto più piccolo, il suo errore relativo indica che è meno accurata della seconda bilancia.
La propagazione degli errori è il procedimento matematico che determina come le incertezze delle misure dirette si ripercuotano sull'incertezza finale di una misura indiretta.
Infatti ogni volta che si ricava il valore di una misura indiretta applicando una formula matematica su misure dirette, le incertezze di queste ultime si combinano tra loro, espandendo le incertezze.
La somma (o differenza) di due misure dirette ha come risultato una misura indiretta in cui:
Date le seguenti misure:
$A = \bar{A} \pm \delta A$
$B = \bar{B} \pm \delta B$
Valore attendibile: $\bar{S} = \bar{A} + \bar{B}$
Errore assoluto: $\delta S = \delta A + \delta B$
Valore attendibile: $\bar{D} = \bar{A} - \bar{B}$
Errore assoluto: $\delta D = \delta A + \delta B$
$T_1 = 12{,}0 \pm 0{,}1\,^\circ\mathrm{C}$
$T_2 = 18{,}3 \pm 0{,}1\,^\circ\mathrm{C}$
$\Delta T = T_2 - T_1 = \overline{\Delta T} \pm \delta\Delta T$
Valore attendibile della differenza di temperatura:
$\overline{\Delta T} = 18{,}3\,^\circ\mathrm{C} - 12{,}0\,^\circ\mathrm{C} = 6{,}3\,^\circ\mathrm{C}$
Errore assoluto della differenza di temperatura:
$\delta\Delta T = 0{,}1\,^\circ\mathrm{C} + 0{,}1\,^\circ\mathrm{C} = 0{,}2\,^\circ\mathrm{C}$
Risultato finale:
$\Delta T = 6{,}3 \pm 0{,}2\,^\circ\mathrm{C}$
Il prodotto (o quoziente) di due misure dirette ha come risultato una misura indiretta in cui:
Date le seguenti misure:
$A = \bar{A} \pm \delta A$
$B = \bar{B} \pm \delta B$
Valore attendibile: $\bar{P} = \bar{A} \cdot \bar{B}$
Calcolo errori relativi:
$\delta A_r = \dfrac{\delta A}{\bar{A}}$
$\delta B_r = \dfrac{\delta B}{\bar{B}}$
Errore relativo del prodotto: $\delta P_r = \delta A_r + \delta B_r$
Errore assoluto del prodotto: $\delta P = \delta P_r \cdot \bar{P}$
$L = 1{,}6\,\text{m} \pm 0{,}001\,\text{m}$
$H = 79{,}8\,\text{cm} \pm 0{,}1\,\text{cm} = 0{,}798\,\text{m} \pm 0{,}001\,\text{m}$
Formula dell'area:
$A = L \cdot H = \bar{A} \pm \delta A$
Valore attendibile dell'area:
$\bar{A} = \bar{L} \cdot \bar{H} = 1{,}2768\,\text{m}^{2}$
Errore relativo della lunghezza:
$\delta L_r = \dfrac{\delta L}{\bar{L}} = 6{,}25 \cdot 10^{-4}$
Errore relativo dell'altezza:
$\delta H_r = \dfrac{\delta H}{\bar{H}} = 1{,}25 \cdot 10^{-3}$
Errore relativo dell'area:
$\delta A_r = \delta L_r + \delta H_r = 1{,}875 \cdot 10^{-3}$
Errore assoluto dell'area:
$\delta A = \delta A_r \cdot \bar{A} = 0{,}0024\,\text{m}^{2}$
Risultato finale con incertezze propagate:
$A = 1{,}2768\,\text{m}^{2} \pm 0{,}0024\,\text{m}^{2}$
Valore attendibile: $\bar{Q} = \dfrac{\bar{A}}{\bar{B}}$
Calcolo errori relativi:
$\delta A_r = \dfrac{\delta A}{\bar{A}}$
$\delta B_r = \dfrac{\delta B}{\bar{B}}$
Errore relativo del quoziente: $\delta Q_r = \delta A_r + \delta B_r$
Errore assoluto del quoziente: $\delta Q = \delta Q_r \cdot \bar{Q}$
$F = 2{,}3\,\text{N} \pm 0{,}05\,\text{N}$
$A = 0{,}2\,\text{m}^{2} \pm 0{,}01\,\text{m}^{2}$
Formula della pressione:
$p = \dfrac{F}{A} = \bar{p} \pm \delta p$
Valore attendibile della pressione:
$\bar{p} = \dfrac{\bar{F}}{\bar{A}} = 11{,}5\,\text{Pa}$
Errore relativo della forza:
$\delta F_r = \dfrac{\delta F}{\bar{F}} = \dfrac{0{,}05\,\text{N}}{2{,}3\,\text{N}} = 0{,}022$
Errore relativo dell'area:
$\delta A_r = \dfrac{\delta A}{\bar{A}} = \dfrac{0{,}01\,\text{m}^{2}}{0{,}2\,\text{m}^{2}} = 0{,}05$
Errore relativo della pressione:
$\delta p_r = \delta F_r + \delta A_r = 0{,}072$
Errore assoluto della pressione:
$\delta p = \delta p_r \cdot \bar{p} = 0{,}83\,\text{Pa}$
Risultato finale con incertezze propagate:
$p = 11{,}5\,\text{Pa} \pm 0{,}83\,\text{Pa}$
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