Galileus GPT - Propagazione delle incertezze — Somma, prodotto e quoziente

2. Propagazione delle incertezze

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La propagazione degli errori è il procedimento matematico che determina come le incertezze delle misure dirette si ripercuotano sull'incertezza finale di una misura indiretta.

Infatti ogni volta che si ricava il valore di una misura indiretta applicando una formula matematica su misure dirette, le incertezze di queste ultime si combinano tra loro, espandendo le incertezze.

Somma e differenza

La somma (o differenza) di due misure dirette ha come risultato una misura indiretta in cui:

il valore attendibile è la somma (o differenza) dei valori attendibili iniziali;
l'errore assoluto è la somma degli errori assoluti delle due grandezze.

Date le seguenti misure:

$A = \bar{A} \pm \delta A$
$B = \bar{B} \pm \delta B$

Somma di A e B: $S = A + B = \bar{S} \pm \delta S$

Valore attendibile: $\bar{S} = \bar{A} + \bar{B}$

Errore assoluto: $\delta S = \delta A + \delta B$

Differenza di A e B: $D = A - B = \bar{D} \pm \delta D$

Valore attendibile: $\bar{D} = \bar{A} - \bar{B}$

Errore assoluto: $\delta D = \delta A + \delta B$

Esempio: calcolo della differenza di temperatura

$T_1 = 12{,}0 \pm 0{,}1\,^\circ\mathrm{C}$
$T_2 = 18{,}3 \pm 0{,}1\,^\circ\mathrm{C}$

$\Delta T = T_2 - T_1 = \overline{\Delta T} \pm \delta\Delta T$

Valore attendibile della differenza di temperatura:

$\overline{\Delta T} = 18{,}3\,^\circ\mathrm{C} - 12{,}0\,^\circ\mathrm{C} = 6{,}3\,^\circ\mathrm{C}$

Errore assoluto della differenza di temperatura:

$\delta\Delta T = 0{,}1\,^\circ\mathrm{C} + 0{,}1\,^\circ\mathrm{C} = 0{,}2\,^\circ\mathrm{C}$

Risultato finale:

$\Delta T = 6{,}3 \pm 0{,}2\,^\circ\mathrm{C}$

Prodotto e quoziente

Il prodotto (o quoziente) di due misure dirette ha come risultato una misura indiretta in cui:

il valore attendibile è il prodotto (o quoziente) dei valori attendibili iniziali;
l'errore assoluto si ricava a partire dall'errore relativo secondo questa procedura:
- si ricavano gli errori relativi delle due grandezze iniziali;
- la somma dei due errori relativi fornisce l'errore relativo del prodotto (o quoziente) delle due grandezze;
- conoscendo l'errore relativo finale e il valore attendibile, si ricava l'errore assoluto.

Date le seguenti misure:

$A = \bar{A} \pm \delta A$
$B = \bar{B} \pm \delta B$

Prodotto di A e B: $P = A \cdot B = \bar{P} \pm \delta P$

Valore attendibile: $\bar{P} = \bar{A} \cdot \bar{B}$

Calcolo errori relativi:

$\delta A_r = \dfrac{\delta A}{\bar{A}}$

$\delta B_r = \dfrac{\delta B}{\bar{B}}$

Errore relativo del prodotto: $\delta P_r = \delta A_r + \delta B_r$

Errore assoluto del prodotto: $\delta P = \delta P_r \cdot \bar{P}$

Esempio: calcolo di una superficie

$L = 1{,}6\,\text{m} \pm 0{,}001\,\text{m}$
$H = 79{,}8\,\text{cm} \pm 0{,}1\,\text{cm} = 0{,}798\,\text{m} \pm 0{,}001\,\text{m}$

Formula dell'area:

$A = L \cdot H = \bar{A} \pm \delta A$

Valore attendibile dell'area:

$\bar{A} = \bar{L} \cdot \bar{H} = 1{,}2768\,\text{m}^{2}$

Errore relativo della lunghezza:

$\delta L_r = \dfrac{\delta L}{\bar{L}} = 6{,}25 \cdot 10^{-4}$

Errore relativo dell'altezza:

$\delta H_r = \dfrac{\delta H}{\bar{H}} = 1{,}25 \cdot 10^{-3}$

Errore relativo dell'area:

$\delta A_r = \delta L_r + \delta H_r = 1{,}875 \cdot 10^{-3}$

Errore assoluto dell'area:

$\delta A = \delta A_r \cdot \bar{A} = 0{,}0024\,\text{m}^{2}$

Risultato finale con incertezze propagate:

$A = 1{,}2768\,\text{m}^{2} \pm 0{,}0024\,\text{m}^{2}$

Quoziente di A e B: $Q = \frac{A}{B} = \bar{Q} \pm \delta Q$

Valore attendibile: $\bar{Q} = \dfrac{\bar{A}}{\bar{B}}$

Calcolo errori relativi:

$\delta A_r = \dfrac{\delta A}{\bar{A}}$

$\delta B_r = \dfrac{\delta B}{\bar{B}}$

Errore relativo del quoziente: $\delta Q_r = \delta A_r + \delta B_r$

Errore assoluto del quoziente: $\delta Q = \delta Q_r \cdot \bar{Q}$

Esempio: calcolo di una pressione

$F = 2{,}3\,\text{N} \pm 0{,}05\,\text{N}$
$A = 0{,}2\,\text{m}^{2} \pm 0{,}01\,\text{m}^{2}$

Formula della pressione:

$p = \dfrac{F}{A} = \bar{p} \pm \delta p$

Valore attendibile della pressione:

$\bar{p} = \dfrac{\bar{F}}{\bar{A}} = 11{,}5\,\text{Pa}$

Errore relativo della forza:

$\delta F_r = \dfrac{\delta F}{\bar{F}} = \dfrac{0{,}05\,\text{N}}{2{,}3\,\text{N}} = 0{,}022$

Errore relativo dell'area:

$\delta A_r = \dfrac{\delta A}{\bar{A}} = \dfrac{0{,}01\,\text{m}^{2}}{0{,}2\,\text{m}^{2}} = 0{,}05$

Errore relativo della pressione:

$\delta p_r = \delta F_r + \delta A_r = 0{,}072$

Errore assoluto della pressione:

$\delta p = \delta p_r \cdot \bar{p} = 0{,}83\,\text{Pa}$

Risultato finale con incertezze propagate:

$p = 11{,}5\,\text{Pa} \pm 0{,}83\,\text{Pa}$