Una misura è il processo empirico attraverso il quale si assegna un valore numerico a una grandezza fisica, confrontandola direttamente o indirettamente con un'unità di misura campione omogenea e definita per convenzione.

Misure dirette e indirette

Una misura diretta si ottiene mediante il confronto diretto tra la grandezza fisica da determinare e un'unità di misura campione (o una scala graduata), utilizzando uno strumento opportuno. È lo strumento che fornisce direttamente il valore della misura, senza necessità di ulteriori calcoli.

La misura della lunghezza di un tavolo è una misura diretta, poiché si usa un metro a nastro per comparare la lunghezza del tavolo con l'unità di misura campione.

Una misura indiretta viene invece ricavata applicando leggi matematiche a una o più grandezze già misurate in modo diretto.

Per misurare la superficie di un tavolo a forma rettangolare bisogna moltiplicare tra loro le misure dei due lati trasversali.

Sensibilità e Portata di uno strumento

La sensibilità (spesso associata alla risoluzione) di uno strumento di misura è la più piccola variazione della grandezza fisica che l'apparato è in grado di rilevare. Negli strumenti analogici coincide con il valore corrispondente alla minima divisione della scala graduata (cioè la distanza tra due tacche adiacenti), mentre in quelli digitali corrisponde alla minima variazione mostrata sulla cifra meno significativa del display.

La portata (o fondo scala) è invece il valore massimo della grandezza fisica che lo strumento è in grado di misurare in modo affidabile, senza subire danni o generare errori fuori tolleranza. Insieme alla soglia minima di rilevamento, definisce il campo di misura (o range) entro cui l'operatività resta valida.

Portata e sensibilità sono inversamente proporzionali:

• se uno strumento ha un'ampia portata, la sua sensibilità deve necessariamente ridursi;
• viceversa, uno strumento con alta sensibilità dovrà avere una portata ridotta.

Una bilancia pesapersone avrà quindi una portata maggiore e una sensibilità inferiore rispetto a una bilancia da cucina, dato che le masse da misurare sono minori per i cibi rispetto alle persone.

Avere contemporaneamente alta portata e alta precisione richiede uno strumento complesso, capace di misurare grandi quantità con un elevato livello di precisione (alta sensibilità).

Errori di Misura

La misura di qualsiasi grandezza in Fisica è sempre affetta da errori. Questi errori possono essere:

• errori sistematici, che si ripetono sempre uguali a ogni misura;
• errori accidentali, che variano con ogni misurazione.

Errori sistematici

Gli errori sistematici sono tipicamente dovuti a errori di taratura dello strumento di misura, che fornisce sempre una misura sbagliata della stessa quantità.

Una bilancia che aggiunge sempre 2 grammi alla misura di massa.

Oppure a fenomeni ambientali imprevisti ma di lunga durata.

Un righello metallico si espande a causa della dilatazione termica in seguito a un aumento di temperatura ambientale.

Errori accidentali

Gli errori accidentali variano invece in modo imprevedibile sia in modulo sia in segno attorno al valore reale. Possono essere dovuti a tecniche di misurazione scorrette.

Usando un cronometro manuale, il tempo di reazione di chi misura influisce sulla misura del tempo trascorso.

Ma possono essere dovuti anche a fattori ambientali imprevedibili e in rapida evoluzione.

Una corrente d'aria o una vibrazione possono introdurre un errore accidentale.

Esprimere una misura

Ogni misura viene sempre espressa in Fisica usando un:

• Valore attendibile o valore più probabile, che rappresenta la migliore stima del valore reale di una grandezza fisica ottenuta sperimentalmente.
  • Quando si effettua una sola misurazione esso coincide con il valore letto.
  • Nel caso di misure ripetute si definisce dalla media aritmetica.
• Incertezza o errore assoluto, che fornisce l'ampiezza dell'intervallo di valori all'interno del quale si pensa che sia contenuto il vero valore della grandezza.
  • Nel caso di una misura singola l'incertezza è la sensibilità dello strumento.
  • Quando invece si eseguono misure ripetute essa coincide con la semidispersione massima.

misura = valore attendibile $\pm$ incertezza (o errore assoluto)

$x = \textcolor{#1d4ed8}{\bar{x}} \pm \textcolor{#b91c1c}{\delta x}$

Nel caso di una misura singola il valore attendibile coincide con il valore letto sullo strumento di misura, mentre l'incertezza coincide con la sensibilità dello strumento di misura.

Nel caso di misure ripetute, il valore attendibile è la media aritmetica dei valori misurati e l'incertezza è:

• la semidispersione massima se questa risulta essere più grande della sensibilità dello strumento;
• la sensibilità dello strumento se questa è più grande della semidispersione massima.

Esempio

Misurando una lunghezza otto volte si sono registrati questi valori:

Il valore attendibile risulta essere:

$\bar{x} = \dfrac{16{,}4 + 16{,}3 + 16{,}9 + 16{,}3 + 16{,}5 + 16{,}7 + 16{,}6 + 16{,}3}{8} = \dfrac{132}{8} = 16{,}5\,\text{cm}$

La semidispersione massima invece:

$\delta x = \dfrac{x_{\max} - x_{\min}}{2} = \dfrac{\textcolor{#15803d}{16{,}9\,\text{cm}} - \textcolor{#1d4ed8}{16{,}3\,\text{cm}}}{2} = \dfrac{0{,}6\,\text{cm}}{2} = 0{,}3\,\text{cm}$

La misura sarà quindi: $16{,}5\,\text{cm} \pm 0{,}3\,\text{cm}$.

Errore Assoluto e Relativo

L'errore relativo è definito invece come il rapporto adimensionale tra l'errore assoluto $\delta x$ e il valore attendibile $\bar{x}$:

$\delta x_r = \dfrac{\delta x}{\bar{x}}$

Moltiplicando l'errore relativo per 100 si ottiene l'errore percentuale $\delta x_{\%}$.

L'errore relativo è importante poiché esprime il peso proporzionale dell'incertezza indipendentemente dal valore attendibile.

Nell'esempio di prima:

$\delta x_r = \dfrac{\delta x}{\bar{x}} = \dfrac{0{,}3\,\text{cm}}{16{,}5\,\text{cm}} = 0{,}018$

$\delta x_{\%} = 1{,}8\%$

Con un valore attendibile differente, per esempio $1{,}65\,\text{m}$, lo stesso errore relativo risulterà in un errore assoluto di $3\,\text{cm}$.

L'errore relativo è il parametro che ci informa sulla qualità dello strumento di misura.

Esempio

Eseguendo 10 pesature di due masse differenti con due bilance differenti:

• bilancia da cucina per la farina: $200\,\text{g}$
• bilancia per pesarsi: $55\,\text{kg}$

Sebbene la prima bilancia abbia un errore assoluto più piccolo, il suo errore relativo indica che è meno accurata della seconda bilancia.