Una grandezza è una proprietà di un fenomeno, corpo o sostanza misurabile in modo oggettivo e quantitativo. La misura viene espressa attraverso un numero e un'unità di misura in accordo con il Sistema Internazionale (SI) di unità di misura.

L'altezza di una porta, la massa di uno zaino o la durata di una corsa sono grandezze: a ciascuna si può associare un numero e un'unità (metri, chilogrammi, secondi).

Sistema Internazionale

SI è lo standard moderno utilizzato per esprimere grandezze fisiche in modo unificato e coerente.
Si basa su sette grandezze fondamentali, ciascuna con la propria unità di misura definita tramite costanti fisiche. Tutte le altre grandezze, con le loro unità di misura, si ottengono combinando queste grandezze secondo leggi fisiche e relazioni matematiche.

Le sette grandezze fondamentali sono:

• Lunghezza $[L]$, misurata in metri $(m)$
• Tempo $[T]$, misurato in secondi $(s)$
• Massa $[M]$, misurata in kilogrammi $(kg)$
• Temperatura $[\theta]$, misurata in Kelvin $(K)$
• Corrente elettrica $[I]$, misurata in Ampère $(A)$
• Quantità di sostanza $[N]$, misurata in moli $(mol)$
• Intensità luminosa $[J]$, misurata in candele $(cd)$

Con il metro a nastro confronti la lunghezza di un tavolo con il metro; con il cronometro confronti un intervallo di tempo con il secondo; con la bilancia confronti la massa di un pacco con il chilogrammo.

Analisi Dimensionale e Grandezze Derivate

Tutte le altre grandezze derivano da una combinazione di grandezze fondamentali e sono dette quindi grandezze derivate.
Per definire quali grandezze fondamentali sono necessarie per definire una grandezza derivata si usa l'analisi dimensionale.
La velocità è una grandezza derivata dal rapporto tra una lunghezza e un tempo; l'analisi dimensionale lo mostra attraverso la relazione simbolica: $ \dfrac{[L]}{[T]} $.
L'unità di misura della velocità presenta quindi la stessa relazione tra le unità di misura delle grandezze fondamentali che la definiscono. Infatti si misura in metri al secondo: $ \dfrac{m}{s} $.

Se un'auto percorre $100\,\text{km}$ in $1\,\text{h}$, stai combinando una lunghezza e un tempo: la velocità media è una grandezza derivata.

Le principali grandezze derivate, con la relativa analisi dimensionale e unità di misura, sono:

• Velocità $ \dfrac{[L]}{[T]} $, misurata in metri al secondo $\left( \dfrac{m}{s} \right)$
• Accelerazione $ \dfrac{[L]}{[T]^2} $, misurata in metri al secondo quadrato $\left( \dfrac{m}{s^2} \right)$
• Superficie $[L]^2$, misurata in metri al quadrato $(m^2)$
• Volume $[L]^3$, misurata in metri al cubo $(m^3)$
• Forza $ \dfrac{[M][L]}{[T]^2} $, misurata in Newton $(N = \text{kg} \cdot \dfrac{m}{s^2})$
• Pressione $ \dfrac{[M]}{[L][T]^2} $, misurata in Pascal $\left( Pa = \dfrac{N}{m^2} = \dfrac{\text{kg}}{m\,s^2} \right)$

L'area di un tavolo rettangolare (prodotto di due lunghezze) e la pressione sotto la suola di una scarpa (forza su una superficie) sono grandezze derivate: non le leggi direttamente da una grandezza fondamentale sola.

La notazione scientifica è un modo compatto per esprimere numeri molto grandi o molto piccoli.

Quando un valore intero è molto grande o molto piccolo, scriverlo per esteso risulta scomodo: occupa spazio, è difficile da leggere e nei calcoli si rischiano errori (zeri di troppo o di meno). Si converte allora in notazione scientifica, ottenendo una forma standard maneggevole.

Il debito pubblico italiano a fine 2025 (Banca d'Italia / Istat) è $3\,095\,888\,000\,000\,\text{€}$: un intero così grande è scomodo da scrivere e da usare nei calcoli. In notazione scientifica diventa $3{,}095888 \cdot 10^{12}\,\text{€}$, forma standard maneggevole.

La massa della Terra (NASA / Almanacco astronomico) è $5\,972\,200\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,\text{kg}$: contare gli zeri a mano espone facilmente a errori. In notazione scientifica: $5{,}9722 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$.

Il diametro convenzionale di un atomo di idrogeno nello stato fondamentale (due volte il raggio di Bohr CODATA) è $0{,}0000000001058354421088\,\text{m}$: un numero così piccolo è altrettanto scomodo da scrivere e da calcolare. In notazione scientifica: $1{,}058354421088 \cdot 10^{-10}\,\text{m}$.

La lunghezza media di un batterio Escherichia coli (misura tipica da microscopia a sezioni ultrassottili) è $0{,}00000247\,\text{m}$ (cioè $2{,}47\,\mu\text{m}$): anche qui la forma estesa invita agli errori. In notazione scientifica: $2{,}47 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$.

Esempi di numeri espressi in notazione scientifica:

$230 = 2{,}3 \cdot 10^{2}$
$480\,000 = 4{,}8 \cdot 10^{5}$
$0{,}00003 = 3{,}0 \cdot 10^{-5}$

Si compone di due parti:

1. Coefficiente con una sola cifra unitaria
2. Potenze in base dieci in cui l'esponente indica l'ordine di grandezza

Come scrivere un numero in notazione scientifica

Se il numero è più grande di 1:

1. Spostare la virgola a sinistra fino a che non si trovi prima della prima cifra significativa: $480\,000 \rightarrow 4{,}80000$
2. Contare di quante posizioni la virgola è stata spostata: quello sarà l'esponente da assegnare alla potenza in base 10 che indicherà l'ordine di grandezza: $4{,}80000 \rightarrow 4{,}8 \cdot 10^{5}$.

Se il numero è più piccolo di 1:

1. Spostare la virgola a destra fino a che non si trovi dopo l'ultima cifra significativa: $0{,}00003 \rightarrow 000003{,}0$.
2. Contare ora di quante posizioni la virgola è stata spostata: quello sarà l'esponente negativo da assegnare alla potenza in base 10 che indicherà l'ordine di grandezza: $000003{,}0 \rightarrow 3{,}0 \cdot 10^{-5}$.

Prodotto di numeri espressi in notazione scientifica

Il prodotto $$ (2.4\cdot10^5) \cdot (6.1 \cdot 10^2)$$ viene risolto con questa sequenza di operazioni:

1. Moltiplicazione tra i due coefficienti $$ 2.4 \cdot 6.1 = 14.64 $$
2. Moltiplicazione tra le potenze in base $10$ $$ 10^5 \cdot 10^2 = 10^{5+2} = 10^7 $$
3. Dato che il coefficiente risultante non ha una sola cifra decimale, viene trasformato nel formato richiesto dalla notazione scientifica $$ 14.64 = 1.464 \cdot 10^1 $$

Il risultato del prodotto è quindi $$ 1.464 \cdot 10^1 \cdot 10^7 $$ $$ 1.464 \cdot 10^8 $$

Quoziente di numeri espressi in notazione scientifica

Il quoziente $$ \dfrac{2.4\cdot10^5}{6.1 \cdot 10^2} $$ viene risolto con questa sequenza di operazioni:

1. I due coefficienti vengono divisi $$ \dfrac{2.4}{6.1} = 0.393 $$
2. Anche le potenze in base $10$ vengono divise tra loro applicando l'opportuna proprietà $$ 10^5 \cdot 10^2 = 10^{5-2} = 10^3 $$
3. Dato che il coefficiente risultante non ha una sola cifra decimale, viene trasformato nel formato richiesto dalla notazione scientifica $$ 0.393 = 3.93 \cdot 10^{-1} $$

Il risultato del quoziente è quindi $$ 3.93 \cdot 10^{-1} \cdot 10^3 $$ $$ 3.93 \cdot 10^2 $$

Somma algebrica di numeri espressi in notazione scientifica

La somma algebrica di due numeri espressi in notazione scientifica può essere eseguita solamente se i due numeri sono nello stesso ordine di grandezza.
La somma avviene solo tra i coefficienti dei due numeri mentre la parte esponenziale rimane inalterata: $$ 2.3\cdot 10^4 + 5.6 \cdot 10^4 $$ $$ 7.9\cdot 10^4 $$

Se i due numeri hanno invece ordini di grandezza differenti la somma albgebrica non può essere eseguita direttamente.
$ 9.3 \cdot 10^{-2} $ è in realtà $ 0.093 $, così come dietro la forma $ 3.2 \cdot 10^{-3} $ si cela il numero $ 0.0032 $.
Se vengono sommati direttamente i due coefficiente tra loro, quali ordine di grandezza si sceglierà tra i due?

Il passaggio preliminare che bisogna seguire è quello di uniformare gli ordini di grandezza prima di procedere con la somma. Per esempio si può trasformare: $$ 3.2\cdot10^{-3} = 0.32\cdot 10^{-2} $$ Ora quindi si procede alla somma come visto in precedenza: $$ 9.3\cdot 10^{-2} + 0.32\cdot 10^{-2} $$ $$ 9.62\cdot 10^{-2} $$

È il sistema di misura adottato per riportare le misure di grandezze nel SI. È organizzato secondo multipli e sottomultipli che variano per potenze in base dieci.
Le potenze in base dieci descrivono l'ordine di grandezza.

Roma e Milano distano $480\,000\ m$. Una cellula umana misura in media $0{,}00001\ m$.

Riportare misure con numeri molto piccoli o molto grandi non è comodo.

Impiegare multipli e sottomultipli aiuta nel semplificare questi numeri:

$480\,000\ m = 480\ km$
$0{,}00001\ m = 10\ \mu m$

Convertire Grandezze

La notazione scientifica è molto utile nella conversione di grandezze nei loro multipli e sottomultipli.

Come esempio, proviamo a convertire $50\, m$ in $\mu m$.

1. Convertire l'unità di misura esprimendola con l'ordine di grandezza corretto:

   $50\ m = 50 \cdot 10^{6}\ \mu m$

   Tra m e $\mu\text{m}$ vi sono 6 ordini di grandezza. L'esponente è positivo poiché stiamo convertendo verso un'unità di misura più piccola.


2. Passiamo poi in notazione scientifica:

   $50 \cdot 10^{6}\ \mu m = 5 \cdot 10^{7}\ \mu m$

Nel caso in cui la misura sia già stata fornita in notazione scientifica, bisogna aggiungere un passaggio. Proviamo a convertire in decametri $dam$ la misura di $0{,}23 \cdot 10^{-2}\ mm$.

1. Convertiamo l'unità di misura esprimendola con l'ordine di grandezza corretto:

   $0{,}23 \cdot 10^{-2}\ mm = 0{,}23 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-4}\ dam$

   Tra mm e dam vi sono 4 ordini di grandezza. L'esponente è negativo poiché stiamo convertendo verso un'unità di misura più grande.


2. Eseguiamo l'operazione tra le potenze:

   $0{,}23 \cdot 10^{-6}\ dam$



3. Scriviamo in notazione scientifica:

   $2{,}3 \cdot 10^{-7}\ dam$